\setcounter{section}{-1}
\section{绪论}

课程主要内容：
\begin{enum}
    \item PN Junction Diode
    \item Bipolar Junction Transistor
    \item MOSFET
\end{enum}

关注器件性能的控制与实现：结构、模型、设计

在一定条件下计算半导体的电势与载流子浓度分布，获得器件的电学特性（$I-V$，$C-V$）


从以下四个方面研究器件：

\begin{enum}
    \item 静电特性（电场与电势分布）
    \item 直流特性（DC稳态响应）  
    \item 频率特性（AC小信号相应）
    \item 开关特性（瞬态特性）
\end{enum}


\subsection{基础知识与基本方程}

\subsubsection{基本方程}
若静电势为 $\varphi$，电场强度为 $\mathscr E$，
电荷密度为 $\rho$，相对介电常数为 $K_{\rm s}$，则：

泊松方程
\[
    \boxed{
        -\frac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}
        = \frac{\mathrm d\mathscr E}{\mathrm dx} 
        = \frac{\rho}{\varepsilon_0K_{\rm s}} 
    }
\]

连续性方程
\[
    \boxed{
        \begin{aligned}
            \frac{\partial n}{\partial t} &= \frac{1}{q} \frac{\partial J_n}{\partial x} - U_n+G_n \\
            \frac{\partial p}{\partial t} &= -\frac{1}{q} \frac{\partial J_p}{\partial x} - U_p+G_p
        \end{aligned}
    }
\]

载流子输运方程
\[
    \boxed{
        \begin{aligned}
            J_n &= nq\mu_n\mathscr E + qD_n\frac{\mathrm dn}{\mathrm dx}\\
            J_p &= pq\mu_p\mathscr E - qD_p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}
        \end{aligned}
    }
\]


\subsubsection{费米能级}
用本征费米能级 $E_{\rm i}$ 来定义静电势与电场强度
\begin{align*}
    &\boxed{\varphi = \frac{E_{\mathrm i}}{-q}}&
    &\mathscr E = -\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx} = \frac1{q} \frac{\mathrm dE_{\mathrm i}}{\mathrm dx}
\end{align*}

定义准费米能级：
\[
    \boxed{
        \begin{aligned}
        E_{\mathrm Fn} &= E_{\rm i} + kT\ln(n/n_{\mathrm i}) \\
        E_{\mathrm Fp} &= E_{\rm i} - kT\ln(p/n_{\mathrm i})
        \end{aligned}
    }
\]

热平衡态下：
\[
    \begin{aligned}
        & \mathrm dE_{\rm F}/\mathrm dx = 0\\
        & E_{\mathrm Fn} = E_{\mathrm Fp} = E_{\mathrm F}\\
    \end{aligned}
\]

定义载流子的准费米势：
\[
    \begin{aligned}
        \varphi_{\mathrm Fn} &= \frac{E_{\mathrm Fn}}{-q} = \varphi - \frac{kT}{q}\ln\frac{n}{n_{\mathrm i}}\\
        \varphi_{\mathrm Fp} &= \frac{E_{\mathrm Fp}}{-q} = \varphi + \frac{kT}{q}\ln\frac{p}{n_{\mathrm i}}\\
    \end{aligned}
\]

将上式与输运方程联立，可用准费米能级表示电流\\
由此可以看出：\textbf{准费米能级随位置变化代表有电流存在}
\[
    \begin{aligned}
        J_n(x) &= nq\mu_n \mathscr E + qD_n\frac{\mathrm dn}{\mathrm dx} = \mu_n n\frac{\mathrm dE_{\mathrm Fn}}{\mathrm dx}\\
        J_p(x) &= pq\mu_p \mathscr E + qD_p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx} = \mu_p n\frac{\mathrm dE_{\mathrm Fp}}{\mathrm dx}
    \end{aligned}
\]

电中性条件
\[
    \boxed{
        \rho(x) = q\big[p(x)-n(x)+N^+_{\rm D}(x)-N_{\rm A}^-(x)\big]=0
    }
\]


\subsubsection{结的基本概念(Junction)}
结：两种材料之间的界面（至少一种是半导体）\\
构成半导体器件的基本结构单元，
通过控制结的导电性来控制半导体的特性
\begin{enum}
    \item pn 结  
    \item 肖特基结 (Metal-Semiconductor Junction)
    \item MOS结构  (Metal-Oxide-Semiconductor)
    \item 异质结   (HeteroJunction)
\end{enum}


\section{PN结的静电特性}
\subsection{PN结的基本结构和杂质分布}

基本结构如图 \ref{fig:PN结二维结构示意图} 所示。
为简化计算，将p-n接触面近似为直线，得到一维模型
\begin{figure}[h]
    \centering 
    \def\svgwidth{7cm}
    \input{figures/PN结二维结构示意图.pdf_tex}
    \hspace{1cm}
    \begin{tikzpicture}
        \draw[thick,red  ] (-2,1) rectangle (0,0);
        \draw[thick,blue ] ( 2,1) rectangle (0,0);
        \draw[red ] (-1,0.5) node{$p$};
        \draw[blue] ( 1,0.5) node{$n$};
        \draw[thick,black] ( 0,0) -- (0,1);
        \draw[thick,fill ] (-2.1,0.8) rectangle (-2.0,0.2);
        \draw[thick,fill ] ( 2.1,0.8) rectangle ( 2.0,0.2);
        \draw[-latex,thick] (-2.5,-0.5) -- (2.5,-0.5) node[above] {$x$};
        \draw (0,-0.45) -- (0,-0.55) node[below] {$0$};
        \draw (-2.0,-0.45) -- (-2.0,-0.55) node[below] {$-W_p$};
        \draw ( 2.0,-0.45) -- ( 2.0,-0.55) node[below] {$ W_n$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{PN结二维结构与一维简化模型示意图}
    \label{fig:PN结二维结构示意图}
\end{figure}


从扩散窗口中注入受主杂质，制造 $p$ 型区域
p型硅纵向扩散深度 $x_{\rm j}$ 结深
p型硅横向扩散深度略小于 $x_{\rm j}$，可近似认为相等
通常不关心横向扩散，认为其可忽略，从而将pn结简化为一维结构


实际 PN 结杂质浓度如图 \ref{fig:实际pn结杂质浓度示意图}

\begin{figure}[h]
    \centering 
    \includegraphics[width=12cm]{figures/实际pn结杂质浓度示意图.png}
    \caption{实际pn结杂质浓度示意图}
    \label{fig:实际pn结杂质浓度示意图}
\end{figure}

外延层中杂质分布均匀，而扩散层杂质浓度分布函数复杂\\
通常可以将其近似为突变或线性缓变

对于结深 $x_{\rm j}$ 比较浅的结，杂质浓度变化剧烈，近似为突变结\\
对于结深 $x_{\rm j}$ 比较深的结，杂质浓度变化缓慢，近似为线性缓变结\\
一般来说采用突变结近似


\begin{figure}[h]
    \centering 
    \def\svgwidth{12cm}
    \input{figures/突变结与线性缓变结示意图.pdf_tex}
    \caption{突变结近似与线性缓变结近似示意图}
    \label{fig:突变结与线性缓变结示意图}
\end{figure}

若一边的杂质浓度远大于另一边，称为单边突变结\\
若 $N_{\rm A}\gg N_{\rm D}$ 称为 $\rm p^+n$ 结\\
若 $N_{\rm D}\gg N_{\rm A}$ 称为 $\rm n^+p$ 结

\subsection{平衡pn结的空间电荷区和能带图}
平衡pn结：没有外加电压与光照、内部温度恒定

\subsubsection{平衡pn结的空间电荷区(SCR)}
pn结形成时，电子与空穴在浓度梯度驱使下扩散，由此产生的自建电场将阻碍其进一步扩散，直到平衡


p型区形成带负电荷的区域（电离受主），厚度 $x_p$\\
n型区形成带正电荷的区域（电离施主），厚度 $x_n$\\
空间电荷区的总宽度 $W_{\rm dep}$ 

中性区：热平衡状态下空间电荷区以外的部分仍然认为是未受影响的p型硅或n型硅，电中性

\subsubsection{平衡pn结的能带图}

平衡pn结有统一的费米能级，能带图的弯曲仅发生在空间电荷区\\
据此绘制能带图：
\begin{enum}
    \item 绘制费米能级
    \item 绘制两侧的中性区的能带图
    \item 用单调连续的曲线连接
\end{enum}


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis line style={draw=none},ticks=none,height=5cm,width=10cm,ymax=2,xmin=-4]
            \fill[gray!40] (axis cs:-1.2,1.2) rectangle (axis cs:1.2,-4.2);
            \node at (axis cs:0,1.5) {\kaishu \small 空间电荷区};
            \node[anchor=west] at (axis cs:-3.6,1) {$E_{\rm c}$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:-3.6,-0.5) {$E_{\rm i}$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:-3.6,-1.3) {$E_{\rm F}$};
            \node[anchor=west] at (axis cs:-3.6,-2) {$E_{\rm v}$};
            \addplot[thick,domain=-3:-1] {1};
            \addplot[thick,domain= 1: 3] {-1};
            \addplot[thick,domain=-1:0] {-(x+1)^2+1};
            \addplot[thick,domain= 0:1] { (x-1)^2-1};
            \addplot[thick,dashed,domain=-3:-1] {1-1.5};
            \addplot[thick,dashed,domain= 1: 3] {-1-1.5};
            \addplot[thick,dashed,domain=-1:0] {-(x+1)^2+1-1.5};
            \addplot[thick,dashed,domain= 0:1] { (x-1)^2-1-1.5};
            \addplot[thick,domain=-3:-1] {1-3};
            \addplot[thick,domain= 1: 3] {-1-3};
            \addplot[thick,domain=-1:0] {-(x+1)^2+1-3};
            \addplot[thick,domain= 0:1] { (x-1)^2-1-3};
            \addplot[thick,dash dot,domain=-3:3]{-1.3};
            \addplot[blue,domain=-1: 3,dashed] {1};
            \draw[blue,-latex] (axis cs:2.5,0) -- (axis cs:2.5,1);
            \draw[blue,-latex] (axis cs:2.5,0) -- (axis cs:2.5,-1);
            \draw[blue] (axis cs:2.5,0) node[right] {$qV_{\rm bi}$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{平衡pn结能带图}
    \label{fig:平衡pn结能带图}
\end{figure}

\subsection{平衡pn结的势垒和内建电势}
空间电荷区的内建电场起到势垒的作用，阻止载流子的扩散

平衡pn结的势垒高度 $qV_{\rm bi}$，其中 $V_{\rm bi}$ 称为内建电势，是空间电荷区两端的电势差\\
如图 \ref{fig:平衡pn结能带图} 所示，$V_{\rm bi}$ 既可用$E_{\rm c}$ 之差表示，又可用 $E_{\rm i}$ 之差表示
$$
qV_{\rm bi} = E_{\rm i}(-x_p) - E_{\rm i}(x_n)
$$


由：
\begin{align*}
& E_{\rm i}\big|_{x=-x_p} = E_{\rm F} + kT \ln\left(\frac{p_{p0}}{n_{\rm i}}\right)
& E_{\rm i}\big|_{x=x_n}  = E_{\rm F} - kT \ln\left(\frac{n_{n0}}{n_{\rm i}}\right)
\end{align*}

因此：
$$
\boxed{
V_{\rm bi} = \frac{kT}{q}\ln\left(\frac{n_n\cdot p_p}{n_{\rm i}^2}\right)
\approx \frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_{\rm A}N_{\rm D}}{n_{\rm i}^2}\right)
}
$$

内建电势也可通过平衡时净电流为 $0$ 得到
$$
\begin{aligned}
J_n(x) = nq\mu_n \mathscr E + q D_n \frac{\d n}{\d x} = 0
&\qquad\Longrightarrow\qquad 
\mathscr E(x) = - \frac{D_n}{\mu_n} \frac{1}{n} \frac{\d n}{\d x} = - \frac{kT}{q} \frac{1}{n} \frac{\d n}{\d x}\\
&\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm bi} = -\int_{-x_p}^{x_n} \mathscr E(x)\d x = \frac{kT}{q}\ln\left[\frac{n(x_n)}{n(-x_p)}\right]
=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_{\rm A}N_{\rm D}}{n_{\rm i}^2}\right)
\end{aligned}
$$

对于单边突变结如$p^+n$，可以认为在 $p$ 区 $E_{\rm F} = E_{\rm v} = E_{\rm i}-E_{\rm g}/2$，从而：
$$
\begin{aligned}
    qV_{\rm bi} &= E_{\rm i}(-x_p) - E_{\rm i}(x_n) \\
    &= \left[E_{\rm F}+\frac{E_{\rm g}}{2}\right] - \left[E_{\rm F}-kT\ln\left(\frac{N_{\rm D}}{n_{\rm i}}\right)\right]\\
    &= \frac{E_{\rm g}}{2} + kT\ln\left(\frac{N_{\rm D}}{n_{\rm i}}\right)
\end{aligned}
$$

\begin{quote}
通常内建电势 $V_{\rm bi}$ 的取值范围为 $0.6 {\;\rm V} \sim 0.9 {\;\rm V}$
\end{quote}

\begin{quote}
    内建电势是静电势，它与浓度差所造成的化学势相互抵消为 $0$，因而无法测量到\\
    电势 $=$ 静电势 $+$ 非静电势
\end{quote}

\subsection{突变结空间电荷区的电场电势分布}

已知 $N_{\rm D}(x),N_{\rm A}(x)$，求 $\varphi(x),\mathscr E(x)$
$$
\left\{\begin{aligned}
&\frac{\mathrm d^2\varphi(x)}{\mathrm dx^2} = -\frac{\mathrm d\mathscr E}{\mathrm dx} = -\frac{\rho(x)}{\varepsilon_0K_{\rm s}}\\
&\rho(x) = q\Big[p(x) -n(x) + N_{\rm D}^+(x) - N_{\rm A}^-(x)\Big]
\end{aligned}\right.
$$

此时需要知道 $p(x),n(x)$ 表达式

\subsubsection{突变结载流子近似分布}
\paragraph{耗尽层近似}
空间电荷区的载流子视为完全耗尽，空间电荷区的电荷完全由电离杂质提供\\
在空间电荷区边界以及外部，处处电中性，电场为 $0$
$$
\rho(x) = 
\begin{cases}
    0 , &x\le -x_p\\
    q\Big[N_{\rm D}(x) - N_{\rm A}(x)\Big], &-x_p<x<x_n\\
    0 , &x\ge x_n\\
\end{cases}
$$

空间电荷区整体电中性：
$$
\int_{-x_p}^{x_n} \Big[N_{\rm D}(x) - N_{\rm A}(x)\Big]\,\mathrm dx = 0
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\boxed{
N_{\rm D}x_n = N_{\rm A}x_p
}
$$

\paragraph{准中性层近似}
根据耗尽层近似，空间电荷区无载流子，电阻很大\\
准中性层近似：假设外加偏压 $V_{\rm A}$ 全部作用在耗尽层上，在中性层上无压降

通常p区接电源正极时记为正向偏置 $V_A>0$，那么耗尽层两端的静电势差为：
$$
\varphi(x_n) - \varphi(-x_p) = V_{\rm bi} - V_{\rm A}
$$

\subsubsection{突变结耗尽区电场和电势求解}
泊松方程：

$$
\begin{aligned}
    &\frac{\mathrm d^2\varphi(x)}{\mathrm dx^2} = -\frac{\mathrm d\mathscr E(x)}{\mathrm dx} 
    = -\frac{-qN_{\rm A}}{\varepsilon_0K_{\rm s}}, & -x_p<x<0 \\
    &\frac{\mathrm d^2\varphi(x)}{\mathrm dx^2} = -\frac{\mathrm d\mathscr E(x)}{\mathrm dx} 
    = -\frac{ qN_{\rm D}}{\varepsilon_0K_{\rm s}}, & 0<x<x_n  \\
\end{aligned}
$$

边界条件：
\begin{align*}
    & \mathscr E(-x_p) = \mathscr E(x_n) = 0, 
    & \varphi(x_n) - \varphi(-x_p) = V_{\rm bi} - V_{\rm A}
\end{align*}

解方程可得耗尽层内的电场电势分布如图 \ref{fig:耗尽层近似下突变结空间电荷区的电荷电场电势分布} 所示：
\begin{enum}
\item 耗尽层内 $\mathscr E$ 在结面两侧分别线性变化，在结面处取极值 $\mathscr E_{\rm max}$
\item 耗尽层内 $\varphi$ 在结面两侧分别为二次曲线，在结面处光滑连接 
\end{enum}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \fill[ red!10] (-1,0) -- ++(0,-1.5) -- ++(1,0) -- (0,0) -- cycle;
        \fill[blue!10] ( 2,0) -- ++(0,0.75) -- ++(-2,0) -- (0,0) -- cycle;
        \draw[-latex] (-2,0) -- (3,0)  node[above left ]{$x$};
        \draw[-latex] (0,-2) -- (0,2)  node[below right]{$\rho$};
        \draw[red ,very thick] (-1,0) node[above]{$-x_p$} -- ++(0,-1.5) -- ++(1,0)  node[right]{$-qN_{\rm A}$};
        \draw[blue,very thick] ( 2,0) node[below]{$x_n$}  -- ++(0,0.75) -- ++(-2,0) node[left ]{$qN_{\rm D}$};
        \draw (-0.5, -0.75) node{$-$} circle[radius=0.2];
        \draw (   1, 0.375) node{$+$} circle[radius=0.2];
    \end{tikzpicture}
    \hspace{5pt}
    \begin{tikzpicture}
        \fill[blue!10] (-1,0) -- (0,-1) -- (2,0) -- cycle; 
        \draw[-latex] (-2,0) -- (3,0)  node[above left ]{$x$};
        \draw[-latex] (0,-2) -- (0,2)  node[below right]{$\mathscr E$};
        \draw[blue,thick] (-1,0) node[above]{$-x_p$} -- (0,-1) node[below right]{$\mathscr E_{\rm max}$}
            -- (2,0) node[above]{$x_n$};
    \end{tikzpicture}
    \hspace{5pt}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[axis lines=middle,ticks=none,
                     xmin=-2, xmax=3, ymin=-2, ymax=2,
                     ylabel=$\varphi$, xlabel=$x$,
                     height=5.6cm,width=6cm             ]
            \addplot[blue,thick,domain=-1:0]{0.5*(x+1)^2};
            \addplot[blue,thick,domain=0:2 ]{-0.25*(x-2)^2+1.5};
            \node[blue,below] at (axis cs:-1,0)    {$-x_p$};
            \node[blue,below] at (axis cs: 2,0)    {$ x_n$};
            \node[blue] at (axis cs: 2,1.75) {\small$V_{\rm bi}-V_{\rm A}$};
            \draw[gray,dashed] (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,1.5);
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{耗尽层近似下突变结空间电荷区的电荷电场电势分布}
    \label{fig:耗尽层近似下突变结空间电荷区的电荷电场电势分布}
\end{figure}

从图形围成的面积容易知道：
\begin{align*}
& \mathscr E_{\rm max} = \dfrac{qN_{\rm A}x_p}{\varepsilon_0K_{\rm s}} = \dfrac{qN_{\rm D}x_n}{\varepsilon_0K_{\rm s}}, &
& V_{\rm bi} - V_{\rm A} = \frac{x_p\mathscr E_{\rm max}}{2} + \frac{x_n\mathscr E_{\rm max}}{2}  
= \frac{q}{2\varepsilon_0K_{\rm s}}\big(N_{\rm D}x_n^2+N_{\rm A}x_p^2\big)
\end{align*}

对 $\mathscr E(x)$ 积分得到电势分布：
$$
\varphi(x) = 
\left\{\begin{aligned}
&\frac12 \frac{qN_{\rm A}}{\varepsilon_0K_{\rm s}} (x+x_p)^2, & -x_p \le x \le 0 \\
&-\frac12 \frac{qN_{\rm D}}{\varepsilon_0K_{\rm s}} (x-x_n)^2 + V_{\rm bi} - V_{\rm A}, & 0\le x \le x_n
\end{aligned}\right.
$$

联立上式与 $N_{\rm A}x_p = N_{\rm D}x_n$ 即可用 $V_{\rm bi} - V_{\rm A}$ 来表示 $x_n,x_p$
\begin{align*}
    x_n &= \left[\frac{2\varepsilon_0K_{\rm s}}{q}\frac{V_{\rm bi} - V_{\rm A}}{N_{\rm A}(1+N_{\rm A}/N_{\rm D})}\right]^{1/2}\\
    x_p &= \left[\frac{2\varepsilon_0K_{\rm s}}{q}\frac{V_{\rm bi} - V_{\rm A}}{N_{\rm D}(1+N_{\rm D}/N_{\rm A})}\right]^{1/2}\\
    W_{\rm dep} &= x_n+x_p = \left[\frac{2\varepsilon_{0} K_{\rm s}}{q}\left(\frac{1}{N_{\rm D}}
      + \frac{1}{N_{\rm A}}\right)\left(V_{\rm bi}-V_{\rm A}\right)\right]^{1 / 2} \\
    \mathscr E_{\rm max} &= \frac{2(V_{\rm bi} - V_{\rm A})}{W_{\rm dep}}
\end{align*}

\begin{quote}
    耗尽层厚度约为 $1{\;\rm nm}\sim 1{\;\rm \mu m}$\\
    电场强度在 $10^4{\;\rm V/cm}$ 附近
\end{quote}

综上，pn结的静电特性是\textbf{掺杂浓度}与\textbf{外加偏压}的函数
\begin{enum}
\item 掺杂浓度增加，$W_{\rm dep}$ 减小，$\mathscr E_{\rm max}$ 增加，势垒高度增加
\item 正偏压 $V_{\rm A}$ 增大，两侧的多子涌向耗尽区向对侧流动，$W_{\rm dep}$ 减小，$\mathscr E_{\rm max}$ 减小，势垒高度减小
\item 单边突变结，耗尽层主要分布于轻掺杂的一侧
\end{enum}





\section{pn结的直流伏安特性}

\subsection{pn结直流特性的定性分析}

平衡状态下空间电荷区内载流子的扩散电流与漂移电流相互抵消\\
外加偏压后平衡被打破，净电流不为零

\subsubsection{正向注入效应}
正向偏置下空间电荷区电场减小，扩散电流大于漂移电流\\
n区电子注入p区\textbf{成为非平衡少子}，进一步向p区内部\textbf{边扩散边复合}，
平均来说到达扩散长度时消失\\
此时\textbf{多子扩散承载电流}，正向电流可以很大

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/理想pn结正向注入效应示意图.png}
    \caption{pn结正向注入效应示意图}
    \label{fig:pn结正向注入效应示意图}
\end{figure}

\subsubsection{反向抽取效应}
反向偏置下空间电荷区电场增强，漂移电流大于扩散电流\\
p区电子注入n区\textbf{成为非平衡多子}，此时耗尽层的作用是“抽取少子”成为另一侧的多子\\
此时\textbf{少子漂移承载电流}，反向电流很小

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/理想pn结反向抽取效应示意图.png}
    \caption{pn结正向注入效应示意图}
    \label{fig:pn结正向注入效应示意图}
\end{figure}

\subsubsection{准中性区维持电中性}
无论是正向还是反向，都会使得准中性区偏离平衡\\
为维持准中性区电中性，电源向准中性区注入等量异性非平衡载流子

\subsubsection{小注入条件}
注入的非平衡少子浓度 $\ll$ 被注入区域热平衡时的多子浓度\\
因此，多子浓度近似为平衡值

\subsubsection{外加偏压下准费米能级的变化}

在非平衡态，电子和空穴分别有自己的准费米能级

小注入时多子的准费米能级维持平衡值，且\textbf{通过耗尽区时保持恒定}\\
进入对方区域，逐渐成为对方平衡态下费米能级，绘图时以直虚线表示，如图 \ref{fig:外加直流偏压时的准费米能级} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/外加直流偏压时的准费米能级.png}
    \caption{外加直流偏压时的准费米能级}
    \label{fig:外加直流偏压时的准费米能级}
\end{figure}

可见，在耗尽区内两种载流子的准费米能级差维持恒定：
$$
\big|E_{\textrm Fp} - E_{\textrm Fn}\big| = qV_{\rm A}
$$

\subsection{理想pn结直流偏压下中性区载流子分布}

理想pn结的基本假设：
\begin{enum}
    \item 外加电压全部降落在耗尽层上，耗尽层外 $\mathscr E=0$ 
    \item 耗尽层内无载流子的复合与产生
    \item 小注入条件
\end{enum}

\subsubsection{一般理想pn结}
在准中性区内载流子的连续性方程可以简化为少子扩散方程：
\begin{align*}
    D_n \frac{\partial^2 \Delta n}{\partial x^2} - \frac{\Delta n}{\tau_n} &= 0 ,\qquad x\le -x_p\\
    D_p \frac{\partial^2 \Delta p}{\partial x^2} - \frac{\Delta p}{\tau_p} &= 0 ,\qquad x\ge  x_n
\end{align*}

通解：
$$
\Delta n_p(x) = A\mathrm e^{-x/L_n} + B\mathrm e^{x/L_n}
$$

欧姆接触边界条件：非平衡载流子全部复合
\begin{align*}
    &\Delta n(-W_p)=0, && \Delta p(W_n)=0
\end{align*}

耗尽层边界条件：（记结论，无需记证明过程）
\begin{align*}
    &\boxed{n(-x_p) = n_{p_0}\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}} &
    &\boxed{p(x_n) = p_{n0}\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}}
\end{align*}

解得理想pn结的中性区非平衡少子分布如下，图像如图 \ref{fig:理想pn结中性区少子分布} 所示 \\
其中 $x',x''$ 是从耗尽层边缘向中性区延伸的坐标\\
将空间电荷区两侧一个少子扩散长度之内的中性区称为\textbf{扩散区}
\begin{align*}
    \Delta p_{n}(x' ) &= \Delta p_n(0) \frac{\sinh \big[(W_{n}-x' )/L_{p}\big]}{\sinh (W_n / L_p)}, &
    \Delta p_{n}(0)   &= p_{n0}\left(\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}-1\right)\\
    \Delta n_{p}(x'') &= \Delta n_p(0) \frac{\sinh \big[(W_{p}-x'')/L_{n}\big]}{\sinh (W_p / L_n)}, &
    \Delta n_{p}(0)   &= n_{p0}\left(\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}-1\right)
\end{align*}
    


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/理想pn结中性区少子分布.png}
    \hspace{1cm}
    \begin{tikzpicture}
        \fill[gray!70] (-0.6,1) rectangle ( 0.6,0);
        \fill[gray!40] (-1.2,1) rectangle (-0.6,0);
        \fill[gray!40] ( 1.2,1) rectangle ( 0.6,0);
        \draw[thick,red ] (-2,1) rectangle (0,0);
        \draw[thick,blue] ( 2,1) rectangle (0,0);
        \draw[red ] (-1.7,0.5) node{$p$};
        \draw[blue] ( 1.7,0.5) node{$n$};
        \draw[thick,black] ( 0,0) -- (0,1);
        \draw[thick,fill ] (-2.1,0.8) rectangle (-2.0,0.2);
        \draw[thick,fill ] ( 2.1,0.8) rectangle ( 2.0,0.2);
        \draw[-latex,thick] (-2.5,-0.5) -- (2.5,-0.5) node[above] {$x$};
        \draw (0,-0.45) -- (0,-0.55) node[below] {$0$};
        \draw (-2.0,-0.45) -- (-2.0,-0.55) node[below] {$-W_p$};
        \draw ( 2.0,-0.45) -- ( 2.0,-0.55) node[below] {$ W_n$};
        \draw (-0.6,-0.45) -- (-0.6,-0.55) node[below] {$-x_p$};
        \draw ( 0.6,-0.45) -- ( 0.6,-0.55) node[below] {$ x_n$};
        \draw (-1.2,-0.45) -- (-1.2,-0.55) ;
        \draw ( 1.2,-0.45) -- ( 1.2,-0.55) ;
        \node[above] at (-0.9,-0.5) {\tiny$L_{\!n}$};
        \node[above] at ( 0.9,-0.5) {\tiny$L_{\!p}$};
        \draw[thick,-latex] (-0.6,-1.5) -- (-2.5,-1.5) node[below]{$x''$};
        \draw[thick,-latex] ( 0.6,-1.5) -- ( 2.5,-1.5) node[below]{$x' $};
        \draw (-0.6,-1.45) -- (-0.6,-1.55) node[below] {$0$};
        \draw ( 0.6,-1.45) -- ( 0.6,-1.55) node[below] {$0$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{理想pn结中性区少子分布}
    \label{fig:理想pn结中性区少子分布}
\end{figure}

\subsubsection{长基区二极管}
长基区二极管：$W_n \gg L_p, \;W_p \gg L_n$\\
此时中性区非平衡少子分布函数简化为\textbf{指数衰减}形式：
\begin{align*}
    \Delta p_{n}(x' ) &= \Delta p_n(0)\cdot \mathrm e^{-x' /L_p}, &
    \Delta p_{n}(0)   &= p_{n0}\left(\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}-1\right)\\
    \Delta n_{p}(x'') &= \Delta n_p(0)\cdot \mathrm e^{-x''/L_n}, &
    \Delta n_{p}(0)   &= n_{p0}\left(\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}-1\right)
\end{align*}

注入中性区的非平衡少子在到达中性区边界已经全部复合：$\Delta p\big|_{x'=\infty}=0$

\begin{quote}
    长基区二极管在准中性区 $E_{\mathrm Fp}$ 与 $x$ 成线性关系，因此能带图中少子准费米能级绘制直虚线是假定为长基区二极管

    （3月8日开始上课时讲述，证明待补充）
\end{quote}

\subsubsection{窄基区二极管}
窄基区二极管：$W_n \ll L_p,\; W_p \ll L_n$
此时中性区非平衡少子分布函数简化为\textbf{线性衰减}形式：
\begin{align*}
    \Delta p_{n}(x' ) &= \Delta p_n(0)\cdot (1-x' /W_n), &
    \Delta p_{n}(0)   &= p_{n0}\left(\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}-1\right)\\
    \Delta n_{p}(x'') &= \Delta n_p(0)\cdot (1-x''/W_p), &
    \Delta n_{p}(0)   &= n_{p0}\left(\exp\frac{qV_{\rm A}}{kT}-1\right)
\end{align*}

注入中性区的非平衡少子在到达中性区边界前几乎没有复合，最终全部汇入电极

\begin{quote}
    硅的扩散长度一般为几十微米，中性区宽度为几到几百微米

    实际pn结可能两侧长、两侧短、一侧长一侧短
\end{quote}



\subsection{理想pn结的直流I-V方程}

n区空穴扩散电流与p区电子扩散电流如下，函数图像如图 \ref{fig:理想pn结少子扩散电流函数图像} 所示
\begin{align*}
    J_p(x) &= +qD_p \frac{\mathrm dp_n}{\mathrm dx} = qD_p \frac{\mathrm dp}{\mathrm dx'}  
            = \frac{qD_p\Delta p_n(0)}{L_p} \frac{\cosh\big[(W_n-x' )/L_p\big]}{\sinh\big[W_n/L_p\big]},
          && x \ge x_n\\
    J_n(x) &= -qD_n \frac{\mathrm dn_p}{\mathrm dx} = qD_n \frac{\mathrm dn}{\mathrm dx''}
            = \frac{qD_n\Delta n_p(0)}{L_n} \frac{\cosh\big[(W_p-x'')/L_n\big]}{\sinh\big[W_p/L_n\big]},
          && x \le -x_p
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/理想pn结少子扩散电流函数图像.png}
    \caption{理想pn结少子扩散电流函数图}
    \label{fig:理想pn结少子扩散电流函数图像}
\end{figure}

假设：在空间电荷区内没有载流子的扩散和产生\\
则\textbf{空间电荷区的两种载流子电流均为恒定值}，
如图 \ref{fig:理想pn结少子扩散电流函数图像} 所示（可用连续性方程证明）\\
可知截面积为 $A_{\rm E}$ 的理想pn结的直流 I-V 方程为：
$$
\begin{aligned}
I &= A_{\rm E}\left[\frac{q D_p \Delta p_n(0)}{L_p} \coth\left(\frac{W_n}{L_p}\right)
    +\frac{q D_n\Delta n_p(0)}{L_n} \coth\left(\frac{W_p}{L_n}\right)\right] \\
  &= {\color{blue}A_{\rm E}\left[\frac{q D_p p_{n0}}{L_p} \coth\left(\frac{W_n}{L_p}\right)
    +\frac{q D_n n_{p 0}}{L_n} \coth\left(\frac{W_p}{L_n}\right)\right]} \left(\exp\frac{q V_{\rm A}}{kT}-1\right)\\
  &= {\color{blue}A_{\rm E}\left[\frac{q D_p n_{\rm i}^2}{L_p N_{\rm D}} \coth\left(\frac{W_n}{L_p}\right)
  +\frac{qD_nn_{\rm i}^2}{L_nN_{\rm A}}\coth\left(\frac{W_p}{L_n}\right)\right]}
  \left(\exp\frac{q V_{\rm A}}{kT}-1\right)\\
  &= {\color{blue}I_0} \cdot \left(\exp \frac{qV_{\rm A}}{kT}-1\right) 
\end{aligned}
$$

可见，理想pn结存在反向饱和电流 $I_0$ 

对于长基区二极管，由于 $\lim\limits_{x\to+\infty}\coth(x)=1$：
$$
I_0 = A_{\rm E}\left[ \frac{qD_pp_{n0}}{L_p} + \frac{qD_nn_{p0}}{L_n}\right]
$$

对于短基区二极管，由于 $\lim\limits_{x\to0}\coth(x)=1/x$：
$$
I_0 = A_{\rm E}\left[ \frac{qD_pp_{n0}}{W_n} + \frac{qD_nn_{p0}}{W_p}\right]
$$

综上，理想pn结的直流 I-V 特性总结如下
\begin{enum}
    \item 正向电流随正偏压指数增加，反向电流随负偏压增加很快达到反向饱和电流 $I_0$
    \item 存在反向饱和电流 $I_0$：数值极小；随温度升高剧烈增加；因半导体材料不同而有几个数量级的改变
    \item 存在正向导通电压：由于 $I_0$ 极小，只有当正向电压增加到一定值后才有可观的正向电流
    \item 由电流解析式可以看出，改变两侧的掺杂浓度即可改变电子电流与空穴电流的相对大小（{\kaishu 在耗尽区内？}）\\
          同时可知：单边突变结电学特性由轻掺杂一侧决定，在耗尽区内的电流完全由轻掺杂一侧的多子承载
          $$
          I = A_{\rm E}\left[\frac{q D_p n_{\rm i}^2}{L_p \color{blue}N_{\rm D}} \coth\left(\frac{W_n}{L_p}\right)
          +\frac{qD_nn_{\rm i}^2}{L_n\color{blue}N_{\rm A}}\coth\left(\frac{W_p}{L_n}\right)\right]
          \left(\exp\frac{q V_{\rm A}}{kT}-1\right)
          $$
    \item 正向电流可视为\textrm{扩散区}的复合电流，反向电流可看作\textrm{扩散区}的产生电流，
    \item 理想pn结各处的电流密度函数图像如图 \ref{fig:理想pn结的正偏压下各处电流密度分布} 所示\\
          在扩散区以外，少子扩散电流几乎全部转化为多子漂移电流
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{figures/理想pn结正向电流可视为扩散区复合电流.png}
    \caption{正向电流：复合，反向电流：产生}
    \label{fig:正向电流-复合，反向电流-产生}
\end{figure}

%          如图 \ref{fig:正向电流-复合，反向电流-产生} 所示\\
%          由于 $\Delta p_n(x_n) = p_{n0}[\exp(qV_{\rm A}/kT)-1]$\\
%          在 $V_{\rm A}>0$ 时 $\Delta p(x_n)>0$，正向电流
%          在 $V_{\rm A}<0$ 时 $\Delta p(x_n)<0$
%          反向抽取效应可视为不断抽取新产生的少子
%
%例如一个$p^+n$ 结长二极管，正向和反向偏置时的电流分别为：
%\begin{align*}
%    I_+ &= A_{\rm E}\frac{qD_pp_{n0}}{L_p} \left(\exp \frac{qV_{\rm A}}{kT}\right) &
%    I_- &= A_{\rm E}\frac{qD_pp_{n0}}{L_p} \left(\exp \frac{qV_{\rm A}}{kT}\right) &
%\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/理想pn结的正偏压下各处电流密度分布.png}
    \caption{理想pn结的正偏压下各处电流密度分布}
    \label{fig:理想pn结的正偏压下各处电流密度分布}
\end{figure}

\begin{quote}
    多子电流产生的原因：扩散区少量的多子浓度梯度，准中性区少量的电势降落\\
    即使这与准中性区假设相悖
\end{quote}

\begin{quote}
    外加正偏压 $0.3\;\rm V$ 大致对应少子浓度增加 $10^5$ 倍
\end{quote}

\subsection{理想pn结与实际pn结的差异}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/理想pn结与实际pn结的比较.png}
    \caption{理想pn结与实际pn结的I-V特性比较}
    \label{fig:理想pn结与实际pn结的I-V特性比较}
\end{figure}

如图 \ref{fig:理想pn结与实际pn结的I-V特性比较} 所示，理想pn结与实际pn结的I-V特性差异主要有：
\begin{enum}
    \item 反向电流实际值大于理论值，且不存在饱和现象
    \item 实际中反向电压增加到一定值后反向电流猛增（发生击穿）
    \item 正向电流在低电压下实际值大于理论值，在高电压下实际值小于理论值
\end{enum}

理想pn结与实际pn结的差异：
\begin{enum}
    \item 实际pn结在反向偏压过大时发生雪崩击穿/齐纳击穿
    \item 实际pn结的耗尽区中会发生载流子的复合与产生
    \item 实际正向大偏压下发生大注入，准中性区受到干扰，准中性区假设不成立
\end{enum}

\subsubsection{pn结反向击穿特性}
实际pn结的反向击穿特性：
\begin{enum}
    \item 存在击穿电压 $V_{\rm BR}$ 为pn结反向能承受的最大电压（{\kaishu BR代表break}）
    \item $V_{\rm BR}$ 与pn结结构以及掺杂分布有明显关系，$V_{\rm BR}$ 可以预测
    \item 实际pn结的击穿为非破坏性的
    \item 击穿为强电场效应，按照物理机制分类有两种：雪崩击穿、齐纳击穿
\end{enum}

pn结击穿电压的测量：
通常将反向电流增大到某一规定值所对应的反向电压称为击穿电压 $V_{\rm BR}$


\subsection{非理想因素：雪崩击穿}

\subsubsection{雪崩击穿的物理机制}

\paragraph{碰撞电离}

在强电场作用下，载流子在两次散射之间获得了足够的能量\\
在与晶格原子碰撞时会使晶格原子电离产生电子-空穴对

载流子碰撞电离的能力用电离率 $\alpha$ 来描述\\
表示一个载流子在电场的作用下漂移 ${1\;\rm cm}$ 所产生的电子空穴对的数目\\
电子与空穴的电离率是一般不同的，但可简化假设 $\alpha_n = \alpha_p = \alpha_{\rm eff}$


\paragraph{雪崩倍增}
碰撞电离产生的载流子与原有载流子再次从电场中获得能量，继续碰撞电离产生电子空穴对\\
这使得载流子数目持续倍增

发生雪崩倍增的条件：
\begin{enum}
    \item 电场足够强以碰撞电离
    \item 强电场区有足够的宽度
\end{enum}

反向偏压能够使得空间电荷区电场增强、加宽\\
当反向偏压增加到 $V_{\rm BR}$ 时空间电荷区发生雪崩倍增，载流子迅速增多，反向电流迅速增大

\subsubsection{雪崩击穿的条件}
记载流子在两侧碰撞之间获得的平均能量为 $\Delta E=q\mathscr El$，其中 $l$ 为平均自由程\\
经验表明 $\Delta E>1.5E_{\rm g}$ 时发生碰撞电离

定义倍增系数 $M = I/I_0$
$$
M = \frac{I}{I_0} = \left(1-\int_{-x_p}^{x_n}\alpha_{\rm eff}(x)\,\mathrm dx\right)^{-1}
$$

\begin{quote}
    硅pn结在 $V_{\rm BR}$ 附近的倍增系数：
    $$
    M \approx \frac{1}{1-\left(|V_{\rm A}| / V_{\rm BR}\right)^n}
    $$
    其中 $n$ 的值随杂质分布而改变\\
    $p^+n$ 结 $n=4$\\
    $n^+p$ 结 $n=2$
\end{quote}

发生雪崩击穿时 $M\to +\infty$，则发生雪崩倍增的条件可表示为\textbf{电离积分等于1}：
$$
\boxed{
\int_{-x_p}^{x_n} \alpha_{\rm eff}(x)\,\mathrm dx = 1
}
$$

经验表明：$\alpha_i = A_{\rm i} \exp(-b_{\rm i}/\mathscr E)^n$，通常假定：
$$
\boxed{
    \alpha_{\rm i} = C_{\rm i}\mathscr E^7 \;{\rm cm^{-1}}
}
$$

其中 $C_{\rm i}$ 是与材料有关的常数，硅的 $C_{\rm i} = 1.8\times 10^{-35}\; cm^6/V^7$

\subsubsection{突变结的雪崩击穿电压}
$|V_{\rm A}| = V_{\rm BR} \gg V_{\rm bi}$

通过代入 $\alpha,\mathscr E$ 表达式计算电离积分，得到：
$$
\boxed{
    V_{\rm BR} = \left( \frac{K_{\rm s}\varepsilon_0}{q}\right)^{3/4} (2C_i)^{-1/4} \cdot N_{\rm B}^{-3/4} 
}
$$

其中 $N_{\rm B}$ 为：
$$
\boxed{
    \frac{1}{N_{\rm B}} = \frac{1}{N_{\rm A}} + \frac{1}{N_{\rm D}}
}
$$

发生雪崩击穿时的耗尽区宽度与最大电场：
\begin{align*}
    &W_{\rm dep} \approx \left(\frac{8}{C_{\rm i}}\right)^{1/8} \left(\frac{K_{\rm s}\varepsilon_0}{qN_{\rm B}}\right)^{7/8} &
    &\mathscr E_{\rm max,BR}\left(\frac{8q}{\varepsilon_0K_{\rm s}C_{\rm i}}N_{\rm B}\right)^{1/8}
\end{align*}

硅pn结雪崩击穿电压、发生雪崩击穿时的耗尽区宽度与最大电场：
$$
\boxed{
\begin{aligned}
    V_{\rm BR} &= 5.34\times 10^{13} \times N_{\rm B}^{-3/4} & \rm V?\\
    W_{\rm dep,BR} &\approx 2.64\times 10^{10} \times N_{\rm B}^{-7/8} & \rm cm\\
    \mathscr E_{\rm max,BR} &= 4010 N_{\rm B}^{1/8} & \rm V/cm?
\end{aligned}
}
$$

\subsubsection{突变结雪崩击穿电压的特性}
\begin{enum}
\item 掺杂浓度越高，击穿电压越低
\item $E_{\rm g}$越大，击穿电压越高（不易碰撞电离）
\item 温度升高，击穿电压升高（晶格散射增强，平均自由程减小）
\item 雪崩击穿时耗尽层最大电场称为临界电场，
      它与掺杂浓度关系小，对于同一半导体材料几乎为常数，因此可通过临界电场来判断是否发生雪崩击穿

    $$
    \boxed{
    \mathscr E_{\rm CR} = \mathscr E_{\rm max,BR} = \left( \frac{8q}{\varepsilon_0K_{\rm s}C_{\rm i}}N_{\rm B} \right)^{1/8}
    }
    $$
        
\end{enum}

\subsubsection{影响雪崩击穿的其他因素}
如上计算只适用于平行平面结，实际工艺制造的pn结的击穿电压小于计算值\\
额外需要考虑两种影响因素：结深、中性区厚度

\paragraph{结深的影响}
真实pn结的结面为平面、柱面、球面的组合，柱面、球面的半径近似为结深，如图 \ref{fig:实际pn结接触面形状示意图} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/实际pn结接触面示意图.png}
    \caption{实际pn结接触面形状示意图}
    \label{fig:实际pn结接触面形状示意图}
\end{figure}

在球面、柱面区域曲率半径小，球面结、柱面结的耗尽层发生电场集中现象\\
结深越小，电场集中越剧烈

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/实际pn结的电场集中现象.jpeg}
    \caption{实际pn结的电场集中现象}
    \label{fig:实际pn结的电场集中现象}
\end{figure}

结深对击穿电压的影响称为pn结的曲率效应，使得pn结的击穿通常发生在结的边缘

击穿电压：平面>柱面>球面

\paragraph{外延层厚度对雪崩击穿电压的影响}
许多pn结是 $p^+-n-n^+$ 结构，其中 $n$ 为外延层，$n^+$ 为衬底

减薄外延层可以减小中性区电阻\\
但当外延层厚度小于发生雪崩击穿所要求的耗尽层宽度时，将对雪崩击穿电压产生影响

若击穿前耗尽区就占满了n区，则雪崩击穿电压从 $\mathscr E-x$ 图上原先的三角形面积变为梯形面积\\
此时反向偏压继续增大，耗尽区宽度基本不变，电场曲线平行移动，
如图 \ref{fig:外延层厚度对雪崩击穿电压的影响} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \fill[blue!20] (0,-1.5) -- (2,0) -- (0,0) -- cycle;
        \draw[-latex] (-1,0) -- (3,0) node[above left] {$x$};
        \draw[-latex] (0,-2) -- (0,1) node[below right] {$\mathscr E$};
        \draw[gray,dashed]   (2.5,-2) -- (2.5,0) node[below right,black] {$W$} -- (2.5,1);
        \draw[thick,blue] (0,-1.5) -- (2,0) node[above] {$W_{\rm dep}$};
    \end{tikzpicture}\qquad
    \begin{tikzpicture}
        \fill[blue!20] (0,-1.5) -- (1,-0.75) -- (1,0) -- (0,0) -- cycle;
        \fill[red!20] (0,-1.75) -- (1,-1) -- (1,-0.75) -- (0,-1.5) -- cycle;
        \draw[-latex] (-1,0) -- (3,0) node[above left] {$x$};
        \draw[-latex] (0,-2) -- (0,1) node[below right] {$\mathscr E$};
        \draw[gray,dashed] (1,-2) -- (1,0) node[above right,black] {$W$} -- (1,1);
        \draw[thick,blue] (0,-1.5) -- (1,-0.75);
        \draw[thick,blue,dashed] (1,-0.75) -- (2,0);
        \draw[thick,red] (0,-1.75) -- (1,-1);
        \draw[thick,red,dashed] (1,-1) -- (2.333,0);
    \end{tikzpicture}\qquad
    \caption{外延层厚度对雪崩击穿电压的影响}
    \label{fig:外延层厚度对雪崩击穿电压的影响}
\end{figure}


\paragraph{提高雪崩击穿电压的措施}
\vspace{1em}
\begin{enum}
    \item 降低结两边的掺杂浓度（尤其是低掺杂一侧的杂质浓度）
    \item 增大结深（增大曲率半径）
    \item 采用结终端技术（降低结的曲率效应）
    \item 减少表面电荷（表面钝化）
\end{enum}

\subsection{非理想因素：齐纳击穿}
齐纳击穿是电子量子隧穿的宏观体现，其发生条件：
\begin{enum}
    \item 势垒对侧的同样能级位置存在未填充位置
    \item 势垒足够薄
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{figures/齐纳击穿条件推导.png}
    \caption{p区空穴量子隧穿示意图}
    \label{fig:p区空穴量子隧穿示意图}
\end{figure}

势垒宽度 $d$ 可用如下方式计算：
$$
\frac{E_{\rm g}}{d} = \frac{\d E_{\rm i}}{\d x} = -q \frac{\d \varphi}{\d x} = q \mathscr E
\qquad\Longrightarrow\qquad
d = \frac{E_{\rm g}}{q\mathscr E}
$$

从而势垒宽度最小处位于电场最大处，也就是 $x=0$ 处\\
通常 $d<10\;\rm nm$ 才会观察到明显的隧穿效应\\
对于硅pn结要求耗尽区最大电场 $\mathscr E_{\rm max} >1.12\times 10^6 \; \rm V/cm$

$$
{
    \color{red}???\;
    \mathscr E_{\rm max} = \left(\frac{2q}{\varepsilon_0K_{\rm s}}V_{\rm A}N_{\rm B}\right)
}
> 1.12\times 10^6{\;\rm V/cm}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm A}N_{\rm B}>4\times 10^{18} {\;\rm V/cm^3}
$$

\begin{quote}
通过比较雪崩击穿临界电场与齐纳击穿所要求的电场大小，可以预测先发生雪崩击穿还是齐纳击穿
\end{quote}

讨论：满足上述条件且不先发生雪崩击穿时，将发生齐纳击穿
\begin{enum}
    \item 掺杂浓度越大越容易发生齐纳击穿
    \item 在重掺杂、强电场下容易发生雪崩击穿，因此应当选择不大的反向偏压
\end{enum}

综上：\textbf{两边重掺杂}的pn结，在\textbf{不大的反向偏压}下，p区价带上的电子满足隧穿条件


\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{雪崩击穿与齐纳击穿的比较}
    \label{tab:雪崩击穿与齐纳击穿的比较}
    \begin{tabular}{|c | c c|}
        \hline
        & 雪崩击穿 & 齐纳击穿\\
        \hline 
        击穿条件 & $\int_{-x_p}^{x_p}\alpha_{\rm eff}(x) \d x = 1$ &   
        $d_{\rm min} = E_{\rm g}/q\mathscr E_{\rm max}$ 足够小 \\ 
        击穿电压值 & 大 & 小（重掺杂下）\\
        温度升高 & 碰撞增强，击穿增强 & $E_{\rm g}$ 增大，击穿减弱\\
        光照增强 & 非平衡载流子增多，击穿增强 & 无明显影响 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\subsection{非理想因素：空间电荷区中的复合与产生电流}

在反偏时中性区内 $np = n_{\rm i}^2\exp(qV_{\rm A}/kT)<n_{\rm i}^2$\\
在正偏时中性区内 $np = n_{\rm i}^2\exp(qV_{\rm A}/kT)>n_{\rm i}^2$

因此，如图 \ref{fig:耗尽区的产生与复合电流示意图} 所示：\\
\textbf{反偏}时耗尽区有电子空穴对的\textbf{产生}\\
\textbf{正偏}时耗尽区有电子空穴对的\textbf{复合}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/耗尽区的产生与复合电流.png}
    \caption{耗尽区的产生与复合电流示意图}
    \label{fig:耗尽区的产生与复合电流示意图}
\end{figure}

耗尽区载流子的间接复合率
$$
\boxed{
    U(x) \approx \frac{n_{\rm i}}{\tau_{\rm dep}}\left(\exp \frac{qV_{\rm A}}{2kT}-1\right)
}
$$

耗尽区的复合电流
$$
\boxed{
    I_{\rm R-G} = qA_{\rm E} \int_{-x_p}^{x_n} U(x)\d x 
    \approx A_{\rm E} \frac{qW_{\rm dep}n_{\rm i}}{2\tau_{\rm dep}}\left(\exp \frac{qV_{\rm A}}{2kT}-1\right)
}
$$

总电流 = 中性区扩散电流 $I_{\rm DIFF}$ + 耗尽区复合电流 $I_{\rm R-G}$\\
哪部分占优取决于外加偏压与工作温度

室温下的硅pn结，仅在反偏和弱正偏时 $I_{\rm R-G}$ 起主要作用\\
高温下的硅pn结，通常 $I_{\rm DIFF}$ 起主要作用

\textbf{正向}偏置时实际pn结电流可用如下经验公式计算：
$$
\boxed{
    I = I_{\rm S} \left( \exp \frac{qV_{\rm A}}{\eta kT} - 1 \right)
}
$$

其中 $\eta$ 称为理想因子
\begin{enum}
\item 中性区的扩散电流占优时 $\eta=1$ 
\item 耗尽区的复合电流占优时 $\eta=2$
\item 两种电流可以比拟时 $\eta\in(1,2)$
\end{enum}

$I_{\rm S}$ 称为反向饱和电流，通常用正向 $I-V$ 数据拟合得到

\subsection{非理想因素：大注入效应}
正向电压较大时，注入的少子浓度接近或超过被注入区的平衡多子浓度，称为大注入

对于 n 区大注入，在 $x_n$ 处可以认为：
$$
\left.
\begin{aligned}
p_n = n_n \approx \Delta p_n = \Delta n_n\\
p_nn_n = n_{\rm i}^2 \exp(qV_{\rm A}/kT)
\end{aligned}
\right\}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
p_n(x_n) = n_{\rm i} \exp \frac{qV_{\rm A}}{2kT}
$$

特征：
\begin{enum}
    \item 大注入时流过的pn结的电流正比于 $\exp(qV_{\rm A}/{\color{blue}2}kT)$ 
    \item 大注入时被注入区多子浓度显著变化，电导相对平衡状态显著增加，称为电导调制效应
    \item 大注入时不能认为外加电场全部降落在耗尽区，准中性区电场不能忽略，相当于有电阻与理想结串联
\end{enum}

\section{pn结的交流小信号特性}
交流小信号：在直流偏压上叠加一个小幅度高频交流信号\\
通常 $V_0\ll kT/q \approx 26{\;\rm mV}$ 时称为小信号，频率在 kHZ, MHZ 量级认为是高频
$$
\begin{aligned}
    v_{\rm A} &= V_{\rm A} + v(t) = V_{\rm A} + V_0\sin(\omega t)\\
    i_{\rm D} &= I_{\rm D} + i(t)
\end{aligned}
$$

其中 $V_{\rm A}$ 称为小信号的直流工作点

\begin{quote}
    直流分量用大写字母、大写脚标\\
    交流分量用小写字母、小写脚标或无脚标\\
    交直总量用小写字母、大写脚标
\end{quote}

直流分量造成的电流可直接用pn结直流特性的结论\\
交流分量需要求解含时连续性方程

对于 $p^+n$ 结长二极管，在n区的中性区：
$$
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2p(x,t)}{\partial x^2} - \frac{p(x,t)-p_{n0}}{\tau_p}
$$

若满足小信号条件，n区空穴浓度也由直流分量与交流分量组成
$$
p(x,t) = p_{\rm A}(x) + p_a(x)\,\rme^{\,\rmj\omega t}
$$

联立上两式，分离直流分量与交流分量：
\begin{align*}
    & \frac{\partial^2 p_{\rm A}(x)}{\partial x^2} - \frac{\Delta p_{\rm A}(x)}{L_{p}^2} = 0 &
    & \frac{\partial^2 p_{\rm a}(x)}{\partial x^2} - \frac{p_{\rm a}(x)}{L_p^2/(1+\rmj\omega\tau_p)} = 0
\end{align*}

对于直流分量，与直流偏压的情况完全相同\\
对于交流分量，其通解为：
$$
p_{\rm a}(x) = A\exp\left(-\frac{x}{L_p}\sqrt{1+\rmj\omega\tau_p}\right)+B\exp\left(\frac{x}{L_p}\sqrt{1+\rmj\omega\tau_p}\right)
$$

$p_{\rm a}(x)$ 的边界条件：
\begin{align*}
&p_{\rm a}(x=\infty) = 0 &
&p_{\rm a}(x=0) = p_{n0} \exp \left(\frac{qV_{\rm A}}{kT}\right) \cdot \frac{qV_{0}}{kT}
\end{align*}

\begin{quote}
    对边界条件的推导表明：\\
    空间电荷区的少子能够完全跟随交流电压信号的变化，而不存在延迟\\
    从物理上说，空间电荷区极窄，p区空穴只需极短的时间就可以补充到n区
\end{quote}

定解得到n区空穴浓度的交流分量：
$$
p_{a}(x) \rme^{\,\rmj\omega t}
=p_{n 0} \exp\left(\frac{qV_{\rm A} }{kT}\right) 
\exp \left(-\frac{x}{L_{p}} \sqrt{1+\rmj\omega\tau_{p}}\right) \frac{q}{k T} V_{0} \rme^{\rmj\omega t}
$$

空穴电流的交流分量：
$$
i_{\rm diff}=\left.-q A_{\rm E} D_{p} \frac{\d\left(p_{\rm a}(x) \rme^{\,\rmj\omega t}\right)}{\d x}\right|_{x=0}
    =\frac{q I_{\rm D}}{kT} \sqrt{1+\rmj\omega\tau_{p}} V_{0} \rme^{\,\rmj \omega t}
$$

其中 $I_{\rm D}$ 是空穴扩散电流的直流分量
$$
I_{\rm D} = A_{\rm E} \frac{qD_{\rm p}p_{n0}}{L_p}\exp \frac{qV_{\rm A}}{kT}
$$

\subsection{pn结的小信号扩散导纳}
 
定义pn结的小信号扩散导纳为：
$$
\begin{aligned}
    y_{\rm D} &= \frac{i_{\rm diff}}{V_0\rme^{\,\rmj\omega t}} = \frac{qI_{\rm D}}{kT}\sqrt{1+\rmj\omega \tau_p}\\
              &= \frac{G_0}{\sqrt2}\left(\sqrt{1+\omega^2\tau_p^2}\right)^{1/2} + 
                 \rmj\frac{G_0}{\sqrt2}\left(\sqrt{1-\omega^2\tau_p^2}\right)^{1/2}\\
              &= G_{\rm D}+\rmj\omega C_{\rm D}
\end{aligned}
$$

其中 $G_{\rm D}$ 称为扩散电导，$C_{\rm D}$ 称为扩散电容，都是直流偏压与交流频率的函数
\begin{align*}
    &G_{\rm D} = \frac{G_0}{\sqrt2}\left(\sqrt{1+\omega^2\tau_p^2}\right)^{1/2}&
    &C_{\rm D} = \frac{G_0}{\omega\sqrt2}\left(\sqrt{1-\omega^2\tau_p^2}\right)^{1/2} &
    G_0 = \frac{qI_{\rm D}}{kT}
\end{align*}

因此，pn结对交流小信号的响应相当于扩散电导 $G_{\rm D}$ 与电容 $C_{\rm D}$ 的并联

扩散电容 $C_{\rm D}$ 的物理意义：扩散区少子浓度随外加偏压变化而变换所产生的电容效应

\subsubsection{小信号扩散导纳的影响因素}
从 $G_{\rm D}$ 与 $C_{\rm D}$ 的表达式来看，两者主要与
直流偏压$V_{\rm A}$、交流频率$\omega$、非平衡载流子寿命 $\tau_p$ 有关

对于外加偏压 $V_{\rm A}$，由于$I_{\rm D}\propto \exp(qV_{\rm A}/kT)$
\begin{enum}
    \item 随正向偏置增大 $G_{\rm D}$ 与 $C_{\rm D}$ 迅速增大
    \item 随反向偏置增大 $G_{\rm D}$ 与 $C_{\rm D}$ 迅速趋于 $0$ 
\end{enum}

对于频率 $\omega$ ，它通常需要与 $\tau$ 来比较，如图 \ref{fig:扩散电导、扩散电容与交流小信号频率关系曲线} 所示：
\begin{enum}
\item 对于 $V_{\rm a}(t)$ 增大的过程，由于空间电荷区极窄，非平衡少子很容易获得补充，$p$ 可以跟随 $V_{\rm a}(t)$ 变化 
\item 对于 $V_{\rm a}(t)$ 减小的过程，$p$ 的复合速度受到 $\tau_p$ 的制约，不一定能够跟随 $V_{\rm a}(t)$ 变化
\item $\omega<1/\tau_p$ 的情况下，复合速率足够，此时 $\omega$ 增大并不会使得 $\bar p$ 增大，$G_{\rm D}$ 与 $C_{\rm D}$ 不变
\item $\omega>1/\tau_p$ 的情况下，复合速率不足，此时 $\omega$ 增大使得 $\bar p$ 增大，因此 $G_{\rm D}$ 随 $\omega$ 一起增大\\
此时 $\omega$ 增大使得 $p$ 变化量减小，因此 $C_{\rm D}$ 随 $\omega$ 的增大而减小
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/扩散电导、扩散电容与频率关系曲线.png}
    \caption{扩散电导、扩散电容与交流小信号频率关系曲线}
    \label{fig:扩散电导、扩散电容与交流小信号频率关系曲线}
\end{figure}

\begin{quote}
注意以上均是针对$p^+n$单边突变结而言

对于一般的突变结，在 $\omega\tau_p<1$ 且 $\omega\tau_n<1$ 的情况下：
\begin{align*}
    &G_{\rm D} = \frac{q}{kT}(I_{\mathrm Dn} + I_{\mathrm Dp})&
    &C_{\rm D} = \frac{1}{2}\frac{qI_{\mathrm Dn}}{kT} \tau_n + \frac{1}{2}\frac{qI_{\mathrm Dp}}{kT} \tau_p
\end{align*}
\end{quote}

\subsection{pn结的势垒电容}

随外加偏压 $V_{\rm a}(t)$ 变化，耗尽层厚度不断变化，耗尽层内电离杂质总量也变化，导致耗尽层电荷量变化\\
因此交流小信号下势垒区将起到电容作用

势垒电容有多子进入与离开势垒区而引起\\
也称耗尽层电容、结电容、过渡电容

耗尽层中电荷 $Q^+=qA_{\rm E}N_{\rm D}x_n$，$Q^- =qA_{\rm E}N_{\rm A}x_p$，进一步可化为：
$$
Q = Q^+ = Q^- = \left[2q\varepsilon_0 K_{\rm s}\frac{N_{\rm A}N_{\rm D}}{N_{\rm A}+N_{\rm D}}(V_{\rm bi}-V)\right]^{1/2}
$$

势垒电容定义为：
$$
C_{\rm J} = \frac{\d Q}{\d V}\bigg|_{V=V_{\rm A}} 
= A_{\rm E}\left[\frac{q\varepsilon_0K_{\rm s}}{2(V_{\rm bi}-V_{\rm A})}
\frac{N_{\rm A}N_{\rm D}}{N_{\rm A}+N_{\rm D}}\right]^{1/2}
={\color{blue} A_{\rm E} \frac{\varepsilon_0K_{\rm s}}{W_{\rm dep}}}
$$

可以看到，势垒电容 $C_{\rm J}$ 相当于厚度为 $W_{\rm dep}$ 的平板电容

\subsubsection{影响势垒电容大小的因素}
影响势垒电容大小的因素主要有：
\begin{enum}
    \item 杂质浓度越高，耗尽层电荷密度越大，耗尽层电容也越大
    \item 偏置电压：正偏时 $C_{\rm J}$ 大，反偏时 $C_{\rm J}$ 小
    \item 结面积：  $C_{\rm J}$ 与 $A_{\rm E}$ 成正比
\end{enum}

通常将势垒电容表示为：
$$
C_{\rm J} = \frac{A_{\rm E}C_{\rm J0}}{(1-V_{\rm A}/V_{\rm bi})^{1/2}}
$$

其中 $C_{\rm J0}$ 为 $V_{\rm A}=0$ 时的势垒电容

实际pn结的势垒电容：
$$
C_{\rm J} = \frac{A_{\rm E}C_{\rm J0}}{(1-V_{\rm A}/V_{\rm bi})^m}
$$

其中 $m$ 称为电容因子，与杂质分布有关，取 $0.33\sim 0.5$

\subsection{pn结的小信号等效电路}

电导 $G_{\rm D}$ 与电容 $C_{\rm D}+C_{\rm J}$ 的并联 

反向偏置时，扩散电导、扩散电容可忽略，仅相当于一个势垒电容

正向偏置时，势垒电容可忽略，等效于扩散电容、扩散电容的并联

\section{BJT基础知识}
Bipolar Junction Transistor 双极结型晶体管

\subsection{器件结构与双极晶体管效应}
双极晶体管效应：一个结的偏压影响了另一个结附近少子数目\\
实现条件：两个结的间距小于该区少子的扩散长度

$$
N_{\rm E} > N_{\rm B} > N_{\rm C}
$$
  

